Derivada direcional com GeoGebra

A Derivada Direcional permite encontrar a taxa de variação instantânea em um ponto com relação a uma direção e sentido indicado por um vetor. É um assunto estudado, geralmente em Cálculo 2 (em cursos de 90 horas) e em Cálculo 3, em cursos de 75h (ou próximo disso). Basicamente o que se quer é encontrar qual é a taxa de variação de uma função $z=f(x,y)$ em um ponto $(x_0,y_0)$ na direção de um vetor $\vec{u}=(a,b)=a.\vec{i}+b.\vec{j}$, unitário, ou seja, $$||\vec{u}||=\sqrt{a^2+b^2}=1.$$

 

 

A derivada direcional de $z=f(x,y)$ em um ponto $P=(x_0,y_0)$ na direção do vetor unitário $\vec{u}=(a,b)$, é definida como sendo o seguinte limite, caso este exista: $$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(x_0+a.t,y_0+b.t)-f(x_0,y_0)}{t}$$

 

NESTA ATIVIDADE disponibilizada na Plataforma GeoGebra o leitor terá a oportunidade de ver exatamente o que se calcula quando encontramos a derivada direcional. Além disso, se a função for diferenciável no ponto $P=(x_0,y_0)$ então ainda valerá a relação $$\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(P)=\nabla f(P)\cdot \vec{u}=||\nabla f(P)||\cdot ||\vec{u}||\cdot \cos(\theta)$$ em que $\theta$ é o ângulo entre os vetores $\nabla f(P)$ e $\vec{u}$.

 

Observe que como $||\vec{u}||=1$ então $$\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(P)=\nabla f(P)\cdot \vec{u}=||\nabla f(P)||\cdot \cos(\theta)$$ e na atividade disponibilizada é possível explorar a relação entre o valor máximo, mínimo e nulo da derivada parcial e a relação entre o vetor $\vec{u}$ e $\nabla f(P)$ apenas modificando a posição do ponto A (veja figura seguinte).

 

 Interaja com a construção mudando as coordenadas do ponto P arrastando ele na janela à direita ou editando as coordenadas deste ponto mudando os valores de x(P) e y(P).

 

Uma palavra com o professor

Prezados professores, a atividade está pronta para ser usada em uma aula à distância, em um laboratório ou mesmo na sala de aula usando um projetor. Maximize a janela do GeoGebra para fazer as suas considerações. É possível também usar a função GeoGebra Classroom para dar aos estudantes a oportunidade de eles mesmos explorarem a construção. Logo depois há algumas perguntas (que devo acrescentar mais perguntas) que permitirá que você saiba como está o entendimento da sua turma em relação ao explicado. O entendimento dos estudantes é super satisfatório. Acredite. Já usei com os meus alunos.xxxx

 

Quer contribuir com sugestões de perguntas para colocar lá? Fale comigo deixando uma mensagem abaixo ou pelo Instagram em @geogebraparatodos ou @luisclaudio_la ;-)

Uma palavra com o estudante

Prezado estudante, a atividade disponibilizada permitirá que você explore o conceito de derivada direcional. Não é difícil. Há quatro perguntas lá para você se avaliar, ok? Siga as orientações de seu professor ou fale comigo deixando um comentário abaixo ou em @geogebraparatodos ou @luisclaudio_la no Instagram.

 

Um grande abraço
Luís Cláudio LA